Введение
Самой распространенной задачей гидравлического расчета каналов является задача по определению одного из линейных геометрических элементов живого сечения. В случае канала трапецеидального сечения требуется при заданном расчетном расходе Q, уклоне дна i, коэффициенте шероховатости n и коэффициенте заложения откосов m вычислить глубину воды h при известной ширине канала по дну b или ширину канала по дну b при известной глубине наполнения h. Точное аналитические решение уравнения Шези относительно h или b не решается. Чаще всего, искомая глубина определяется подбором или графическим методом. Решение уравнения Q=f(h) может быть найден приближенно на определенном интервале изменения h (или b) с некоторой погрешностью е математическим методом половинного деления. Поскольку каналы являются составной частью сложных водохозяйственных или гидротехнических объектов, интервал изменения глубин чаще всего известен или определяется конструктивными, эксплуатационными особенностями. Интервал изменения ширины канала можно определить из условия сопряжения с соседними сооружениями (водопропускными сооружениями, водосливами, водозаборами, зданиями ГЭС и насосных станций), а также из условий производства строительных работ. При применении методом ЭВМ(ПК) численное решение задачи займет считанные секунды. Для применения метода половинного деления при решении уравнения Шези относительно глубины h уравнение Q=f(h) будет иметь вид:
Методология
y=Q-fh=0. (1) Выбирается интервал, на котором будут искаться корни уравнения с допустимой погрешностью ε например, ε=10-4 . Отрезок h∈ [hнач, hкон] будет иметь корень, если значение функции в одной из его точек равно нулю. Это значит, что на интервале функция меняет знак. Графическое представление метода половинного деления: если функция меняет знак, значит произведение значений функции в крайних точках отрицательно: Q-fhнач*Q-fhкон<0. (2) в противном случае решение уравнения на данном интервале нет. При выполнении условия интервал делится пополам и вычисляется значение в его медианной точке. Затем проверяется, на каком из двух новых интервалов [hнач, (hнач + hкон)/2] и [(hнач + hкон)/2, hкон] функция изменяет свой знак. Этот интервал вновь делится пополам и вычисляется значение функции в его медианной точке. Каждое из вычисленных значений функции в медианной точке сравнивается по модулю с ε. Если модуль полученного значения функции не превосходит ε, вычислительный процесс заканчивается, в противоположном случае аналогичные вычисления повторяются для следующего полуинтервала, на концах которого функция имеет различные знаки. Решение уравнения Шези относительно ширины канала по дну происходит аналогичным способом, только рассматривается уравнение: y=Q-fb=0. (3) Для расчёта требуемых геометрических параметров h или b в каналах трапецеидального поперечного сечения требуется выбрать интервал, на котором требуется найти корни уравнения Шези. Основные этапы нахождения корней уравнения Q=f(h) математическим методом половинного деления представлены ниже.
Результаты
Расчетным уравнением будет уравнение Шези: y=Q-fh=0. (4) Математическое представление задачи следующая: Вводится коэффициент заложения откосов m, ширина канала по дну b, уклон дна трассы канала i и величина требуемого расхода Q по справочным таблицам выбирается коэффициент шероховатости n в зависимости от вида грунта трассы канала или материала крепления откосов и также вводится в качестве исходных данных. Выбираются начальная hнач и конечная hкон глубины, которые будут границами отрезка по оси абсцисс, их значения также вводятся в программу. Для первой точки, абсцисса которой h=hнач вычисляется площадь живого сечения ω, смоченный периметр, гидравлический радиус сечения R, коэффициент Шези С, перечисленные величины подставляются в выбранное уравнение Шези или другую зависимость по расчету коэффициента C и вычисляется Qнач. Определяется разница между заданным расходом и полученным aa=Q – Qнач. Аналогичные вычисления производятся для последней точки интервала hкон, bb=Q – QКОН. Вычисляется произведение значений функции в просчитанных точках aa*bb. Если полученная величина положительна, счет заканчивается, так как на выбранном интервале корней уравнения нет. Если полученная величина отрицательна aa*bb< ε расчет прекращается и значение х является искомой глубиной в противном случае счет продолжается и происходит проверка, на какой именно половине отрезка [hнач, х] или [х, hкон] функция меняет знак у*аа>0. Если функция меняет знак на первой половине отрезка, то в дальнейших расчетах hкон =х, bb=y, если на второй половине - hкон =x, аа=у. Далее происходит переход к следующей итерации nn=nn+l, выбранная половина отрезка делится пополам, цикл начинается вновь. Алгоритм решения задачи приведен на рисунке 1. Это пример алгоритма циклической структуры. Для решения уравнения Шези относительно ширины канала по дну b алгоритм метода половинного деления остается прежним, изменится лишь вид вычисляемой функции Q=f(b), она будет соответствовать алгоритму, приведенному на рисунке 1. Следует отметить, что при неудачном выборе h задача по отысканию ширины канала по дну может не иметь решения. Алгоритм определения b математическим методом половинного деления приведен на рисунке 1.
Результаты
Для следующих исходных данных определить ширину канала по дну, необходимую для пропуска заданного расхода при равномерном движении воды в канале, глубина воды в канале h=3,4м, уклон дна i=0,00034, коэффициент заложения откосов m=1, крепление откосов-бетон, заданный расход Q=35 м3/с, коэффициент шероховатости для бетонной облицовки - n=0,014. Интервал изменения ширины канала зададим отрезком b∈ [1;5]. Следует отметить, что, как и в предыдущей задаче на каждом этапе придется вычислять текущий расход Q при различных значениях ширины канала b. В этом случае в расчет тоже вводится процедура с параметрами, в которой будут последовательно определяться величины ω, χ, R, С при заданных параметров i, m, n, h. При решении инженерных задач обычно полученную ширину канала по дну приравнивают к ближайшей стандартной, например, в рассмотренном случае ширина канала будет b=2м. Теперь следует уточнить глубину воды в канале, так как принятая ширина отличается от расчетной. Для этого при исходных данных i=0,00034, m=l, n=0,014, Q=35м3/с, b=2м определяют h по алгоритму и программе. Интервал изменения глубины h∈[1; 4], в результате численных расчетов глубина воды в канале определиться и будет равна 3,4м. Для следующих исходных данных определить глубину воды в канале, которая установится при пропуске заданного расхода при равномерном движении воды в канале Ширина канала по дну b=6м, уклон дна i=0,00065, коэффициент заложения откосов m=1,5, крепление откосов- бетон, заданный расход Q=40мЗ/с, коэффициент шероховатости для бетонной облицовки n=0,014. Интервал изменения глубин зададим отрезком h∈[0,01; 5]. Прежде чем составлять программу для решения этой задачи на языке программирования Python, следует отметить, что на каждом этапе придется вычислять текущий расход Q при различных глубинах h. В этом случае удобно ввести в расчет процедуру с параметрами, в которой будут последовательно определяться величины ω, χ, R, С при заданных параметрах i, m, n , b.
Обсуждение
Рисунок 1— Разработка блок-схемы алгоритма метода половинного деления для решения уравнения Шези в среде drawio Заключение. Для решения уравнения Шези относительно ширины канала по дну b алгоритм метода половинного деления остается прежним, изменится лишь вид вычисляемой функции Q=f(b), она будет соответствовать алгоритму, приведенному на рисунке 1. Следует отметить, что при неудачном выборе h задача по отысканию ширины канала по дну может не иметь решения. Разработанный прикладной алгоритм определения h и b методом половинного деления приведен на рисунке 1.
Обсуждение
Благодарность.
Выводы
Автор выражает благодарность кандидату технических наук, доценту Палиивец Максиму Сергеевичу за оказанную помощь и ценные советы при подготовке статьи.